如果我有一个凸多边形，由顶点x1、x2、x3、...、xn组成。并且满足：存在某个点P和某个角a，所有的点xi（i = 1 to n）绕着这个P旋转a度以后都可以和xj（j != i）重合。
问题：
P是不是一定是( x1 + x2 + x3 + ... + xn ) / n？

我觉得是的，思路大致如下：
假设存在一点P，满足旋转a后，图形重合。
现将原点平移到p
(x_1, x_2, ..., x_n) ==> (x_1', x_2', ..., x_n')
其中
x_i'=x_i-p (向量减)

任选一点x_i',将坐标系旋转为横轴(o-x_i')的新坐标系。
(x_1', x_2', ..., x_n') ==> (x_1'', x_2'', ..., x_n'')
其中
x_j''=<R_j', Theta_j'-Theta_i'> (极坐标表示)

若旋转a角后图形重合，则有：
x_i'' rotate ==>x_i+1''
x_i-1'' rotate ==> x_i''
其中x_i''的极坐标为(R_i'', 0)，在x轴上，因此，x_i+1''和x_i-1''关于x轴对称。

同理可以证明任何一顶点的相邻两顶点，关于p到该顶点的直线对称。

这个结论显然不对吧？想象一个长方形，沿它的中心 p 旋转 180 度可以与自己重合，但是不论它的哪个顶点，相邻的两个顶点都不满足上述结论。

我无意中多加了个条件，x_i 旋转a角后和 x_i+1重合，实际上应该是和x_j重合，j和i只要不等就可以了。

一时想不出来了。