体育彩票的概率

今天一个朋友对我说他在大量购买体育彩票，并且把这个作为一种投资。劝告无果，尝试计算一下这个彩票的中奖概率。因为在我的概念里面，任何彩票的得益可能都是<1的。

按照他的说法，体育彩票的玩法是 0 - 9 十个球，每次摇出三个，这三个球的数字可以重复，譬如说112也是一个合法的组合。买张彩票的价格是2元，一共三个数字。如果开出的3个数字被包含在彩票的三个数字中，那么就中了。譬如说，如果你买得彩票是123；那么无论开出的是112还是321，都中了。一旦中奖，就可以得到216元。

每次买的时候，他选择买 5 个数字。彩票本身的价格是 2 元，如果要买满 5 个数字的所有组合，就是 2 * C ( 5, 3 ) = 20 元。

假设人足够理性，那么他不会购买有4个或者5个数字相同的彩票。那么每次摇奖的中奖率是

5 ^ 3 / 10 ^ 3 = 12.5%

预期回报 = 216 * 12.5% = 27 元

投入 20 元，预期回报 27 元，预期回报率 135%。这还是彩票吗？

进一步计算，如果我只买 3 个数字，只需要 2 元。而中奖概率则

3 ^ 3 / 10 ^ 3 = 2.7%

预期回报 = 216 * 2.7% = 5.832

预期回报率为 291.6%。如果要提高中奖概率（而不是预期回报率），可以买 3 组各不相同的数字，这样中奖率会变成 8.1%

从上面两组数据可以看出，买的数字越多，回报率越少。也就是说，如果我买 10 个数字，需要2 * C( 10, 3 ) = 240元。这一定会中奖，每次 216 元。

预期回报率 = 216 / 240 = 90%

也就是说，如果大家买的分布比较均匀，主办方还是不亏的，或者至少是亏的不多的。 怪不得这个彩票的销售方法上说，你下单买某个数字的话，可能会买不到。

无论如何，这仍然是一个很不错的彩票